递回函数

[BettyBDChiang参与者]

转载自廖雪峰的官方网站

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递回函数。

举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x … x n，用函数fact(n)表示，可以看出：
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。
于是，fact(n)用递回的方式写出来就是：

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

上面就是一个递回函数。可以试试：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算fact(5)，可以根据函式定义看到计算过程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递回函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递回函数都可以写成回圈的方式，但回圈的逻辑不如递回清晰。

使用递回函数需要注意防止堆叠溢出。在电脑中，函式呼叫是通过堆叠（stack）这种资料结构实现的，每当进入一个函式呼叫，堆叠就会加一层堆叠帧，每当函数返回，堆叠就会减一层堆叠帧。由于堆叠的大小不是无限的，所以，递回呼叫的次数过多，会导致堆叠溢出。可以试试fact(1000)：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递回呼叫堆叠溢出的方法是通过尾递回优化，事实上尾递回和回圈的效果是一样的，所以，把回圈看成是一种特殊的尾递回函数也是可以的。

尾递回是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含运算式。这样，编译器或者解译器就可以把尾递回做优化，使递回本身无论调用多少次，都只占用一个堆叠帧，不会出现堆叠溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n – 1)引入了乘法运算式，所以就不是尾递回了。要改成尾递回方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递回函数中：

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return fact_iter(num – 1, num * product)仅返回递回函数本身，num – 1和num * product在函式呼叫前就会被计算，不影响函式呼叫。
fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120

尾递回呼叫时，如果做了优化，堆叠不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致堆叠溢出。
遗憾的是，大多数程式设计语言没有针对尾递回做优化，Python解译器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递回方式，也会导致堆叠溢出。

小结

使用递回函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致堆叠溢出。
针对尾递回优化的语言可以通过尾递回防止堆叠溢出。尾递回事实上和回圈是等价的，没有回圈语句的程式设计语言只能通过尾递回实现回圈。
Python标准的解译器没有针对尾递回做优化，任何递回函数都存在堆叠溢出的问题。

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