遞迴函數

[BettyBDChiang參與者]

轉載自廖雪峰的官方網站

在函數內部，可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞迴函數。

舉個例子，我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x … x n，用函數fact(n)表示，可以看出：
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示為n x fact(n-1)，只有n=1時需要特殊處理。
於是，fact(n)用遞迴的方式寫出來就是：

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

上面就是一個遞迴函數。可以試試：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我們計算fact(5)，可以根據函式定義看到計算過程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

遞迴函數的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞迴函數都可以寫成迴圈的方式，但迴圈的邏輯不如遞迴清晰。

使用遞迴函數需要注意防止堆疊溢出。在電腦中，函式呼叫是通過堆疊（stack）這種資料結構實現的，每當進入一個函式呼叫，堆疊就會加一層堆疊幀，每當函數返回，堆疊就會減一層堆疊幀。由於堆疊的大小不是無限的，所以，遞迴呼叫的次數過多，會導致堆疊溢出。可以試試fact(1000)：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解決遞迴呼叫堆疊溢出的方法是通過尾遞迴優化，事實上尾遞迴和迴圈的效果是一樣的，所以，把迴圈看成是一種特殊的尾遞迴函數也是可以的。

尾遞迴是指，在函數返回的時候，調用自身本身，並且，return語句不能包含運算式。這樣，編譯器或者解譯器就可以把尾遞迴做優化，使遞迴本身無論調用多少次，都只佔用一個堆疊幀，不會出現堆疊溢出的情況。

上面的fact(n)函數由於return n * fact(n – 1)引入了乘法運算式，所以就不是尾遞迴了。要改成尾遞迴方式，需要多一點代碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞迴函數中：

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return fact_iter(num – 1, num * product)僅返回遞迴函數本身，num – 1和num * product在函式呼叫前就會被計算，不影響函式呼叫。
fact(5)對應的fact_iter(5, 1)的調用如下：

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120

尾遞迴呼叫時，如果做了優化，堆疊不會增長，因此，無論多少次調用也不會導致堆疊溢出。
遺憾的是，大多數程式設計語言沒有針對尾遞迴做優化，Python解譯器也沒有做優化，所以，即使把上面的fact(n)函數改成尾遞迴方式，也會導致堆疊溢出。

小結

使用遞迴函數的優點是邏輯簡單清晰，缺點是過深的調用會導致堆疊溢出。
針對尾遞迴優化的語言可以通過尾遞迴防止堆疊溢出。尾遞迴事實上和迴圈是等價的，沒有迴圈語句的程式設計語言只能通過尾遞迴實現迴圈。
Python標準的解譯器沒有針對尾遞迴做優化，任何遞迴函數都存在堆疊溢出的問題。

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